Αποτελέσματα εκλογών Παραρτήματος Ε.Μ.Ε. Εύβοιας

 

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΚΛΟΓΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ Ε.Μ.Ε. ΕΥΒΟΙΑΣ

Με μεγάλη επιτυχία και τη συμμετοχή πολλών συναδέλφων από όλη την Εύβοια, πραγματοποιήθηκαν το Σάββατο 17 Δεκεμβρίου 2022 στο Γυμνάσιο Νέας Αρτάκης οι προβλεπόμενες αρχαιρεσίες για την ανάδειξη νέου Διοικητικού Συμβουλίου στο Παράρτημα Εύβοιας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Μετά τις εκλογές και τη συγκρότηση σε σώμα, η σύνθεση του νέου επταμελούς Δ.Σ. για τα επόμενα χρόνια είναι η εξής:

ΠΡΟΕΔΡΟΣ	ΙΩΑΝΝΗΣ ΡΙΖΟΣ
ΑΝΤΙΠΡΟΕΔΡΟΣ	ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΙΟΥΡΤΣΗΣ
ΓΕΝΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ	ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΥΡΜΠΕΤΗΣ
ΤΑΜΙΑΣ	ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ
ΕΙΔΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ	ΦΩΤΕΙΝΗ ΜΕΤΟΧΙΑΤΗ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ	ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΟΥΚΑΣ
ΕΦΟΡΟΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ	ΙΩΑΝΝΗΣ ΓΙΑΛΟΣ

  

Ήδη το νέο Δ.Σ. προγραμματίζει σειρά δράσεων και συνεργασιών για το 2023.

Οι απαρχές των Μαθηματικών: Το κόκαλο του Ishango - Άρθρο του Ιωάννη Ρίζου

 

Οι απαρχές των Μαθηματικών: Το κόκαλο του Ishango

 

του Ιωάννη Ρίζου

 

Τα Μαθηματικά φαίνεται πως προέκυψαν από την ανάγκη για μετρήσεις και πρακτι­κούς υπολογισμούς. Απ’ όσο γνωρίζουμε, δεν υπήρξε ποτέ κοινωνία χωρίς κάποια μορφή καταμέτρησης, δηλαδή αντιστοίχισης μιας συλλογής αντικειμένων με κάποιο εύκολα χειριζόμενο σύνολο δεικτών – είτε πρόκειται για πέτρες, είτε για κόμπους, είτε για εγκοπές επάνω σε αντικείμενα. Την πεποίθησή μας αυτή τη στηρίζουμε κυ­ρίως σε αρχαιολογικά ευρήματα, αλλά και σε παρατηρήσεις που κάνουν οι κοινωνι­κοί ανθρωπολόγοι επάνω σε φυλές οι οποίες, ακόμα και σήμερα, ζουν απομονωμένες. Αν λοιπόν θεωρήσουμε τα Μαθηματικά (και) ως κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα που σχετίζεται με αριθμητικές έννοιες ή χωρικές διαμορ­φώσεις, τότε μπορούμε να συμπε­ριλάβουμε στη μελέτη μας τα «προϊστορικά Μαθη­ματικά», τα οποία αναπτύχθηκαν σε περιόδους κατά τις οποίες δεν υπήρχε γραφή (ή ίσως και να υπήρχε κάποιο είδος γραφής αλλά δεν διασώθηκαν γραπτά μνημεία).

Στα βουνά της κεντρικής Αφρικής, στα σύνορα της Λαϊκής Δημοκρατίας του Κονγκό και της Ουγκάντα, βρίσκεται η λίμνη Edward, μία από τις πιο απομακρυσμένες πηγές του ποταμού Νείλου. Στις όχθες της λίμνης πριν από περίπου 20.000 χρόνια ζούσε μια κοινότητα ανθρώπων που ψάρευε, μάζευε τροφή ή καλλιεργούσε, ανάλογα με την εποχή του χρόνου. Ο οικισμός είχε μια σχετικά σύντομη διάρκεια ζωής λίγων αιώ­νων, πριν θαφτεί μετά από μία ισχυρή ηφαιστειακή έκρηξη. Εκείνοι οι παλαιολιθικοί άνθρωποι έμειναν γνωστοί ως «Ishango». Σήμερα στην περιοχή υπάρχει ένα μικρό χωριό με αυτό το όνομα.

Οι αρχαιολογικές ανασκαφές στο χωριό Ishango το 1950 υπό τον Βέλγο γεωλόγο Jean de Heinzelin de Braucourt (1920-1998), έφεραν στο φως ανθρώπινα λείψανα, καθώς και εργαλεία για την αλιεία, το κυνήγι και την επεξεργασία της τροφής (π.χ. πέτρες άλεσης). Ωστόσο, το πιο ενδιαφέρον εύρημα ήταν ένα κόκαλο μήκους 10cm που πιθανά χρησίμευε ως λαβή εργαλείου, το οποίο σήμερα φυλάσσεται στο Μουσείο Φυσικής Ιστορίας, στις Βρυξέλλες (Muséum des Sciences Naturelles de Belgique).

Το κόκαλο, γνωστό ως «το κόκαλο του Ishango» («Ishango bone»), έχει σκούρο καφέ χρώμα και επάνω του φέρει ορισμένα ευδιάκριτα σημάδια, σαν χαρακιές. Στο ένα του άκρο υπάρχει στερεωμένο ένα κομμάτι χαλαζία, το οποίο ενδέχεται να χρησίμευε για χάραξη. Τα σημάδια στο κόκαλο του Ishango αποτελούνται από σειρές εγκοπών τοποθετημέ­νες σε τρεις διακριτές ομάδες. Η ασύμμετρη ομαδοποίηση αυτών των εγκοπών, όπως φαίνεται στην εικόνα, καθιστά απίθανο να ήταν τοποθετημένες εκεί απλώς για διακοσμητικούς λόγους. Η πρώτη σειρά περιλαμβάνει τέσσερις ομάδες εγκοπών με 9, 19, 21 και 11 σημάδια. Στη δεύτερη σειρά υπάρχουν επίσης τέσσερις ομάδες αλλά με 19, 17, 13 και 11 σημάνσεις. Η τρίτη σειρά έχει οκτώ ομάδες εγκοπών: 7, 5, 5, 10, 8, 4, 6, 3. Οι δύο τελευταίες ομάδες (δηλ. 6, 3) είναι πιο κοντά μεταξύ τους, όπως και οι 8, 4 και 5, 5, 10, γεγονός που υποδηλώνει μια σκόπιμη διάταξη σε διακριτές υποο­μάδες.

Κατά συνέπεια, γεννάται το εξής ερώτημα: Εάν αυτές οι ομάδες εγκοπών δεν είναι διακοσμητι­κές, τότε γιατί τοποθετήθηκαν εκεί; Μια πιθανή εξήγηση θα μπορούσε να είναι ότι πρόκειται για σημάδια καταμέτρησης, δηλαδή βρισκόμα­στε μπροστά στην αφετηρία του δρόμου που οδηγεί στην κατασκευή ενός συστήματος αρίθμησης.

Μήπως όμως το κόκαλο του Ishango απεικονίζει κάτι περισσότερο από μια απλή καταμέτρηση; Ορισμένοι ερευνητές απαντούν θετικά, θεωρώντας πως υπάρχουν κάποια υποκείμενα αριθμητικά μοτίβα σε καθεμιά από τις σειρές (a), (b) και (c). Για παράδειγμα: 

• Οι ενδείξεις στις σειρές (a) και (b) έχουν άθροισμα 60 (9+19+21+11 και 19+17+13+11 αντίστοιχα).
• Η σειρά (a) είναι αρκετά συμβατή με ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το 10, αφού οι εγκοπές είναι ομαδοποιημένες ως 20+1, 20–1, 10+1, 10–1.
• Η γραμμή (b) περιέχει τους πρώτους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 10 και του 20.
• Η σειρά (c), όπου εμφανίζονται οι υποομάδες (5, 5, 10), (8, 4) και (6, 3), ίσως δείχνει κάποια εκτίμηση της έννοιας του διπλασιασμού.

Ο ίδιος ο de Heinzelin έγραψε το 1962 στο περιοδικό Scientific American (τόμ. 206, τεύχ. 6, σσ. 105-118) πως το κόκαλο του Ishango μπορεί να αναπαριστά «ένα είδος αριθμητικού παιχνιδιού, που επινοήθηκε από έναν λαό ο οποίος είχε ένα αριθμητικό σύστημα βασισμένο στο 10, καθώς και γνώση του διπλασιασμού και των πρώτων αριθμών». Στο ίδιο άρθρο εξέτασε το ενδεχόμενο το σύστημα αρίθμησης των Ishango να ταξίδεψε μέχρι την Αίγυπτο και να επηρέασε την ανάπτυξη του αριθμητικού της συστήματος, του πρώτου δηλαδή δεκαδικού συστήματος στον κόσμο.

Αν και οι αφρικανικές ρίζες του αιγυπτιακού πολιτισμού μαρτυρούνται από αρχαιο­λογικές ανακαλύψεις και πρώιμες γραπτές μαρτυρίες (λ.χ. από τον Ηρόδοτο), θεω­ρούμε πως οι υποθέσεις του de Heinzelin σχετικά με το επίπεδο των μαθηματικών γνώσεων των Ishango, βασισμένες στην παρατήρηση μόνο ενός οστού, είναι μάλλον υπερβολικές (ειδικά αυτές που αναφέρονται στους πρώτους αριθμούς). Ωστόσο δεν μπορούμε να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο οι οστέινες σημάνσεις να αποτελούν ένα σύστημα διαδοχικών σημειώσεων – για παράδειγμα, μια καταγραφή των διαφόρων φάσεων της σελήνης. Το εάν αυτή είναι μια πειστική ερμηνεία, θα εξαρτηθεί εν μέρει από τη διαπίστωση της σημασίας των σεληνιακών παρατηρήσεων στον πολιτισμό των Ishango, και εν μέρει από το πόσο κοντά η σειρά των εγκοπών στο οστό ταιριάζει με τον αριθμό των ημερών που περιέχονται σε διαδοχικές φάσεις της σελήνης. Ένα τέτοιο σενάριο είναι, προς το παρόν τουλάχιστον, εικασία, ταιριάζει όμως με τα όσα γνωρίζουμε για τους σημερινούς λαούς που συνεχίζουν να ακολουθούν το πρότυπο της ζωής των Ishango (δηλαδή του κυνηγού-συλλέκτη). Παρ’ όλα αυτά, μια πρόχειρη εξέταση του μοτίβου των εγκοπών στο κόκαλο Ishango δεν δείχνει κάποια προφανή κα­νονικότητα που μπορεί να συσχετιστεί αδιαμφισβήτητα με σεληνιακά φαινόμενα. Έτσι, ο αρχικός σκοπός –αν όντως υπάρχει τέτοιος– του κόκαλου του Ishango πα­ραμένει αντικείμενο συζήτησης.

Jean de Heinzelin de Braucourt (1920-1998)

Αυτές οι εικασίες σχετικά με το κόκαλο του Ishango αναδεικνύουν τρεις σημαντικές πτυχές των πρώιμων Μαθηματικών. Πρώτον, η στενή σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Αστρονομίας έχει μακρά ιστορία και συνδέεται με την ανάγκη που ένιωθαν ακόμη και οι πρώτοι άνθρωποι να καταγράφουν τη ροή του χρόνου, τόσο από περιέρ­γεια όσο και από πρακτική ανάγκη. Δεύτερον, αυτό που άλλαξε δραματικά με την πάροδο των χρόνων είναι η φύση των γεγονότων και των σχέσεων με τις οποίες έπρεπε να λειτουργήσουν οι άνθρωποι και όχι η ικανότητά τους να συλλογίζονται. Έτσι, η δημιουργία ενός περίπλοκου συστήματος διαδοχικής σημειογραφίας με βάση ένα σεληνιακό ημερολόγιο ήταν μέσα στις δυνατότητες των προϊστορικών ανθρώ­πων, των οποίων η επιθυμία να παρακολουθούν τις εναλλαγές των εποχών μεταφρά­στηκε σε παρατηρήσεις της μεταβαλλόμενης όψης της σελήνης. Τέλος, ελλείψει τεκ­μηρίων, οι εικασίες σχετικά με τις μαθηματικές ασχολίες των πρώτων ανθρώπων πρέπει να εξετάζονται υπό το πρίσμα της αληθοφάνειάς τους, της ύπαρξης πειστικών εναλλακτικών εξηγήσεων και της ποιότητας των διαθέσιμων στοιχείων.

Ένα μόνο οστό μπορεί κάλλιστα να καταρρεύσει κάτω από το βαρύ φορτίο των εικα­σιών που συσσωρεύονται πάνω του.

Ο Ιωάννης Ρίζος είναι Διδάσκων του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας και Πρόεδρος της ΕΜΕ Εύβοιας.

Με συμμετοχή φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας το 37ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας της Ε.Μ.Ε.

 

Μετά από διετή αναβολή λόγω πανδημίας, πραγματοποιήθηκε στην Αργολίδα από 4 έως 6 Νοεμβρίου 2022 το 37^ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας της Ελληνικής Μαθηματική Εταιρείας, με θέμα «Τα Μαθηματικά ως πυλώνας της διεπιστημονικής προσέγγισης στα σύγχρονα οικουμενικά προβλήματα». Παρουσιάστηκαν πρωτότυπες εργασίες και κατατέθηκαν ιδέες και προβληματισμοί για τα Μαθηματικά και τη Μαθηματική Εκπαίδευση.

Στο παραπάνω πλαίσιο οι φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γεώργιος Κολοκοτρώνης, Αικατερίνη-Μαρία Παπανικολάου και Νικόλαος Γκρέκας, με την επίβλεψη του Ιωάννη Ρίζου, διδάσκοντα του ως άνω Τμήματος και Προέδρου της ΕΜΕ Εύβοιας, παρουσίασαν τις ερευνητικές εργασίες:

Ρίζος, Ι., Κολοκοτρώνης, Γ. & Παπανικολάου, Α. Μ., “Αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών στη διδασκαλία των γεωμετρικών κατασκευών στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση”. Πρακτικά 37ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, τόμος Α΄, σσ. 351-361. Ε.Μ.Ε.

Ρίζος, Ι., & Γκρέκας, Ν., “Το πρόβλημα των εκατό πτηνών: Ιστορικές καταβολές, διδακτικές συνέπειες και κοινωνικές προεκτάσεις”. Πρακτικά 37ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, τόμος Β΄, σσ. 300-309. Ε.Μ.Ε.

Μέσα από την ενεργό συμμετοχή τους στο Συνέδριο, οι φοιτητές είχαν την ευκαιρία να ανταλλάξουν απόψεις επάνω στα Μαθηματικά, τη διδασκαλία και τις εφαρμογές τους με τα υπόλοιπα μέλη της μαθηματικής κοινότητας, να βγάλουν χρήσιμα συμπεράσματα και να αποκομίσουν πολύτιμες εμπειρίες.

Οι εργασίες είναι διαθέσιμες εδώ

https://drive.google.com/file/d/1RKHqjxVrBs6k3A28Tk3B3udYlSYi7KX_/view?usp=sharing

και εδώ

https://drive.google.com/file/d/1wlI4ME85PRO6oTDrTPhNUxkNMWbFUhmT/view?usp=sharing

 

Οδοιπορικό στη Βόρεια Εύβοια: Ένα βιωματικό κείμενο

 

Την Τετάρτη 27 Οκτωβρίου 2021 επισκέφθηκα την πολύπαθη Βόρεια Εύβοια προκειμένου –ως Πρόεδρος της Ε.Μ.Ε. Εύβοιας– να βραβεύσω μαθητές και μαθήτριες πέντε Δημοτικών, Γυμνασίων και Λυκείων της περιοχής, που διακρίθηκαν στους τελευταίους διαγωνισμούς της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Αφού συγχάρηκα όλα τα παιδιά, διότι με τη συμμετοχή τους στους μαθηματικούς διαγωνισμούς και το ενδιαφέρον τους για τις φυσικές επιστήμες εν γένει βοηθάνε στην προαγωγή της Μαθηματικής Παιδείας στη χώρα μας, τα ενημέρωσα πως με απόφαση του Δ.Σ της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας θα σταλούν στα σχολεία τους περιοδικά των εκδόσεων της Ε.Μ.Ε., και τα ενθάρρυνα να δηλώσουν συμμετοχή στους προσεχείς μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Με τους Διευθυντές και τις Διευθύντριες, καθώς και τους/τις συναδέλφους εκπαιδευτικούς, οι οποίοι και οι οποίες είχαν την καλοσύνη να με δεχτούν στα σχολεία τους, συζητήσαμε θέματα αμοιβαίου ενδιαφέροντος και εξετάσαμε το ενδεχόμενο υλοποίησης κοινών δράσεων με διδακτικό και κοινωνικό στόχο.

Στην επιστροφή πέρασα από τα χωριά που επλήγησαν περισσότερο από την καταστροφική πυρκαγιά του περασμένου καλοκαιριού. Κατά τόπους η μυρωδιά του καμένου ήταν ακόμα έντονη, ενώ σε πολλά σημεία ο δρόμος είχε διαβρωθεί από τις πλημμύρες των τελευταίων ημερών.

Σταμάτησα σε ένα σημείο –κάπου μεταξύ Παππάδων και Αγίας Άννας– στο οποίο προς όποια κατεύθυνση και αν κοίταζες έβλεπες καμένο δάσος. Πώς να μην κλάψεις για την τεράστια οικολογική καταστροφή; Πώς να μην πονέσεις για τους ανθρώπους, οι οποίοι εν μιά νυκτί καταστράφηκαν από τη μανία του παμφάγου πυρός;

Στο σημείο εκείνο έβγαλα την παραπάνω φωτογραφία. Με φόντο το καμένο δάσος και κάτω από τον μαύρο ουρανό, μια ταπεινή φτέρη, χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση, φύτρωσε για να μας υπενθυμίσει πως η Φύση συνεχίζει πεισματικά να μάχεται και πως δεν έχουμε άλλη επιλογή παρά να την ακολουθήσουμε σε τούτη την πορεία. Μου θύμισε ακόμα τη «φτέρη του Barnsley», με την αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας μεταξύ του μεγάλου μίσχου και της αλληλουχίας των μικρότερων που βρίσκονται επάνω του, και πως τα Μαθηματικά μπορούν να μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε τον κόσμο γύρω μας, γι’ αυτό και αξίζει να αγωνιζόμαστε γι’ αυτά.

 Ιωάννης Ρίζος

Πρόεδρος Ε.Μ.Ε. Εύβοιας

Λύσεις Διαγωνίσματος

Μπορείτε να δείτε εδώ τις λύσεις του διαγωνίσματος της 31ης Μαΐου 2020.

Οι λύσεις προτάθηκαν από τον συνάδελφο κ. Θανάση Μπεληγιάννη, τον οποίο και ευχαριστούμε!

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικό Διαγώνισμα

Μαθηματικά Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα, 31/5/2020

https://drive.google.com/file/d/1Z5zXx3MkCMH0VxRoQWX6cv5kO8CZGFuE/view?usp=sharing

Μαθηματική μοντελοποίηση σε καιρούς επιδημίας

του Ιωάννη Ρίζου*

Τον τελευταίο καιρό, με αφορμή την εξάπλωση του νέου κορωνοϊού COVID-19, γίνεται πολύς λόγος για τον νόμο της εκθετικής μεταβολής και χρησιμοποιούνται απλοποιημένες προσεγγίσεις προκειμένου να βοηθηθεί το ευρύ κοινό να κατανοήσει τη σημασία του. Συνήθως δίνεται ως παράδειγμα «η πληρωμή του εφευρέτη του σκακιού», το οποίο υπάρχει και ως άσκηση στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου, στο μάθημα της γεωμετρικής προόδου (σ. 139). Θα μπορούσε ωστόσο να διευκρινιστεί ότι α) η γεωμετρική πρόοδος είναι το διακριτό ανάλογο της εκθετικής συνάρτησης και β) για τη χώρα μας ο λόγος της προόδου είναι, με τα έως τώρα δεδομένα, κατά 25% μικρότερος του 2 που συναντάμε στο παράδειγμα. Με άλλα λόγια ο αριθμός των επιβεβαιωμένων κρουσμάτων μιας ημέρας είναι κατά μέσο όρο το 1,5 του αριθμού των κρουσμάτων της προηγουμένης.

Στο σύντομο αυτό άρθρο δεν θα ασχοληθώ τόσο με το εάν πράγματι τα συνολικά κρούσματα της νόσου αυξάνονται εκθετικά (παρεμπιπτόντως εάν εφαρμόσουμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, η καμπύλη του Σχήματος 1 έχει εξίσωση y=e^0.3t  και μάλιστα με R^2=0.95), ούτε με το εάν η γραφική παράσταση που απεικονίζει τα βεβαιωμένα κρούσματα της νόσου σε  μια χώρα Α αποτελεί οριζόντια μετατόπιση (π.χ. καθυστέρηση κατά x ημέρες) της γραφικής παράστασης μιας άλλης χώρας Β, ούτε με το πότε ένα εκθετικό γράφημα θα παρουσιάσει σημείο καμπής (και έτσι η εξίσωση θα μετατραπεί από εκθετική σε λογιστική). Αυτό που κυρίως με απασχολεί εδώ είναι η (άκριτη) χρήση των μαθηματικών μοντέλων, οι φιλοσοφικές τους προϋποθέσεις και οι διδακτικές τους προεκτάσεις.

Σχήμα 1

Αν και το εκπαιδευτικό μας σύστημα επιδιώκει, τουλάχιστον τις τελευταίες δεκαετίες, την εισαγωγή των Μαθηματικών μέσα σε ένα κοινωνικό πλαίσιο συμφραζομένων, δεν φαίνεται να εξασφαλίζει παράλληλα εκτός από τη χρήση των μαθηματικών μεθόδων και ένα περιβάλλον κριτικής συζήτησης για την καταλληλότητα της εφαρμογής τους σε πραγματικά προβλήματα. Ή μήπως πιστεύει κανείς ότι αρκεί να γίνει μια εισαγωγή από τον καθηγητή σε μια μαθηματική έννοια και στη συνέχεια να δοθούν ασκήσεις στους μαθητές/ φοιτητές για “εμπέδωση” της θεωρίας; Γιατί παρόλο που δεχόμαστε ότι τα Μαθηματικά είναι κατεξοχήν ένα αφηρημένο αντικείμενο, η βασική φιλοσοφία από την οποία τα θεωρούμε είναι μια φιλοσοφία της κουλτούρας και της ανθρώπινης επικοινωνίας ως συγκεκριμένης και δημιουργικής Πράξης.

Κατά συνέπεια η χρησιμοποίηση της εκθετικής συνάρτησης ως νόμου μεταβολής, δεν είναι τίποτα περισσότερο από την επιλογή ενός αντιπροσώπου μιας μεγάλης οικογένειας μαθηματικών μοντέλων, τα οποία αποτελούν αναπαραστάσεις διαμεσολαβημένων αναπαραστάσεων. Τα μοντέλα αυτά αναλύουν φαινόμενα, διαδικασίες και συστήματα, με σκοπό την εξήγηση, τη διατύπωση εικασιών και την πρόβλεψη μελλοντικών καταστάσεων. Ταυτόχρονα συγκροτούν προσομοιώσεις φυσικών φαινομένων ή συμπεριφορών (που αντιστοιχούν στο πραγματολογικό επίπεδο της γλώσσας και της ανθρώπινης επικοινωνίας) και δεν επιδέχονται τους χαρακτηρισμούς “αληθές” ή “ψευδές”, αλλά “αποτελεσματικό”/ “λειτουργικό” ή τα αντίθετά τους.

Είναι λοιπόν σημαντικό να έχει κανείς υπόψη του ότι τα μοντέλα αυτά δεν προσομοιώνουν την ίδια τη φύση, η οποία συχνά μας εκπλήσσει, αλλά αναπαριστούν με μαθηματικό τρόπο τις αντιλήψεις μας γι’ αυτήν και βοηθούν υπό προϋποθέσεις στην εξήγηση των φαινομένων (εν προκειμένω των επιδημιολογικών δεδομένων), αναγάγοντάς τα σε ένα μικρό πλήθος μεταβλητών παραγόντων. Υπό μία έννοια, στα όρια της επιστημολογικής αυθαιρεσίας, δεν είναι τα πραγματικά –αν μπορούμε να τα πούμε έτσι– γεγονότα αυτά που κατευθύνουν την επιστημονική αναζήτηση, αλλά τα τεχνικά εργαλεία και μέσα μοντελοποίησης που είναι κάθε φορά διαθέσιμα.

Σχήμα 2

Εδώ και 222 χρόνια, από τον Άγγλο οικονομολόγο Thomas R. Malthus και εντεύθεν, οι επιστήμονες προσπαθούν να κατασκευάσουν μαθηματικά πρότυπα που να περιγράφουν τις μεταβολές και την αλληλεπίδραση των πληθυσμών συναρτήσει του χρόνου. Για μικρές χρονικές περιόδους τέτοια πρότυπα έχουν εξαιρετικά καλή προσέγγιση, για μεγαλύτερες όμως οδηγούν σε εξωπραγματικά συμπεράσματα καθώς δεν λαμβάνουν υπόψη εξωγενείς παράγοντες που μειώνουν τον ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού, ανακόπτοντας την εκθετική του αύξηση.  

Κατ’ αντιστοιχία και τα επιδημιολογικά μοντέλα δείχνουν αρχικά να είναι εκθετικά, εν τέλει όμως καταλήγουν να ακολουθούν μια σιγμοειδή καμπύλη που υπαγορεύεται από μια μορφή «λογιστικής εξίσωσης» (Σχήμα 2). Διότι αυτό που προξενεί τα νέα κρούσματα σε μια επιδημία δεν είναι μόνο τα υφιστάμενα κρούσματα, αλλά και μια πιθανοθεωρητική συσχέτιση με τον αριθμό των ατόμων που δεν έχουν νοσήσει ακόμη. Επιπλέον υπάρχουν ασθένειες στις οποίες αν κάποιος προσβληθεί και αναρρώσει, αναπτύσσει ανοσία στην ασθένεια. Αλλά και παράγοντες όπως οι καιρικές συνθήκες ή ο χρόνος που μεσολαβεί μέχρι να βρεθεί κατάλληλο εμβόλιο παίζουν σημαντικό ρόλο.

Για την ιστορία: Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής δεν διδάσκεται πλέον στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου. Ουσιαστικά ούτε η μαθηματική μοντελοποίηση διδάσκεται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, πέρα από ορισμένες συναρτήσεις που, είτε οι ίδιες μέσω εκπεφρασμένων τύπων, είτε ορισμένες χαρακτηριστικές τους ιδιότητες δίνονται με αυθαίρετο τρόπο. Έτσι πολλοί μαθητές (και φοιτητές) αντιλαμβάνονται λ.χ. την εκθετική συνάρτηση μάλλον διαδικαστικά παρά εννοιολογικά. Επί της ουσίας δηλαδή δεν φαίνεται να τους ενδιαφέρει η μαθηματική εξήγηση ενός φαινομένου, αλλά το πώς χρησιμοποιείται η εκθετική ή κάποια άλλη συνάρτηση προκειμένου «να λυθεί η άσκηση».

Αυτή η κρίση αργά ή γρήγορα θα περάσει. Είναι μαθηματικά βέβαιο ότι θα περάσει, απλά δεν γνωρίζουμε με ακρίβεια το πότε. Όταν όμως περάσει, τι θα έχουμε κερδίσει ως κοινωνία; Θα έχουμε γίνει σοφότεροι μέσα από μια διαδικασία αναστοχασμού επάνω σε βιωμένες προβληματικές καταστάσεις ή θα επαναλάβουμε τα ίδια λάθη; Μήπως λοιπόν τώρα που κατά συγκυρία έχουν τεθεί σε δημόσιο διάλογο οι προτάσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για τα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου και Λυκείου, είναι και μια ευκαιρία για την εκπαιδευτική κοινότητα και την κοινωνία μας εν γένει να επανακαθορίσει μέρος των προτεραιοτήτων της και να θέσει πρακτικούς και ρεαλιστικούς στόχους που θα επιτρέψουν την προσαρμογή των Προγραμμάτων Σπουδών στον σύγχρονο κόσμο και τις προκλήσεις του;

* Ο Ιωάννης Ρίζος είναι Διδάσκων στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας και Πρόεδρος του Παραρτήματος της Εύβοιας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.