Οι απαρχές των Μαθηματικών: Το κόκαλο του Ishango - Άρθρο του Ιωάννη Ρίζου

 

Οι απαρχές των Μαθηματικών: Το κόκαλο του Ishango

 

του Ιωάννη Ρίζου

 

Τα Μαθηματικά φαίνεται πως προέκυψαν από την ανάγκη για μετρήσεις και πρακτι­κούς υπολογισμούς. Απ’ όσο γνωρίζουμε, δεν υπήρξε ποτέ κοινωνία χωρίς κάποια μορφή καταμέτρησης, δηλαδή αντιστοίχισης μιας συλλογής αντικειμένων με κάποιο εύκολα χειριζόμενο σύνολο δεικτών – είτε πρόκειται για πέτρες, είτε για κόμπους, είτε για εγκοπές επάνω σε αντικείμενα. Την πεποίθησή μας αυτή τη στηρίζουμε κυ­ρίως σε αρχαιολογικά ευρήματα, αλλά και σε παρατηρήσεις που κάνουν οι κοινωνι­κοί ανθρωπολόγοι επάνω σε φυλές οι οποίες, ακόμα και σήμερα, ζουν απομονωμένες. Αν λοιπόν θεωρήσουμε τα Μαθηματικά (και) ως κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα που σχετίζεται με αριθμητικές έννοιες ή χωρικές διαμορ­φώσεις, τότε μπορούμε να συμπε­ριλάβουμε στη μελέτη μας τα «προϊστορικά Μαθη­ματικά», τα οποία αναπτύχθηκαν σε περιόδους κατά τις οποίες δεν υπήρχε γραφή (ή ίσως και να υπήρχε κάποιο είδος γραφής αλλά δεν διασώθηκαν γραπτά μνημεία).

Στα βουνά της κεντρικής Αφρικής, στα σύνορα της Λαϊκής Δημοκρατίας του Κονγκό και της Ουγκάντα, βρίσκεται η λίμνη Edward, μία από τις πιο απομακρυσμένες πηγές του ποταμού Νείλου. Στις όχθες της λίμνης πριν από περίπου 20.000 χρόνια ζούσε μια κοινότητα ανθρώπων που ψάρευε, μάζευε τροφή ή καλλιεργούσε, ανάλογα με την εποχή του χρόνου. Ο οικισμός είχε μια σχετικά σύντομη διάρκεια ζωής λίγων αιώ­νων, πριν θαφτεί μετά από μία ισχυρή ηφαιστειακή έκρηξη. Εκείνοι οι παλαιολιθικοί άνθρωποι έμειναν γνωστοί ως «Ishango». Σήμερα στην περιοχή υπάρχει ένα μικρό χωριό με αυτό το όνομα.

Οι αρχαιολογικές ανασκαφές στο χωριό Ishango το 1950 υπό τον Βέλγο γεωλόγο Jean de Heinzelin de Braucourt (1920-1998), έφεραν στο φως ανθρώπινα λείψανα, καθώς και εργαλεία για την αλιεία, το κυνήγι και την επεξεργασία της τροφής (π.χ. πέτρες άλεσης). Ωστόσο, το πιο ενδιαφέρον εύρημα ήταν ένα κόκαλο μήκους 10cm που πιθανά χρησίμευε ως λαβή εργαλείου, το οποίο σήμερα φυλάσσεται στο Μουσείο Φυσικής Ιστορίας, στις Βρυξέλλες (Muséum des Sciences Naturelles de Belgique).

Το κόκαλο, γνωστό ως «το κόκαλο του Ishango» («Ishango bone»), έχει σκούρο καφέ χρώμα και επάνω του φέρει ορισμένα ευδιάκριτα σημάδια, σαν χαρακιές. Στο ένα του άκρο υπάρχει στερεωμένο ένα κομμάτι χαλαζία, το οποίο ενδέχεται να χρησίμευε για χάραξη. Τα σημάδια στο κόκαλο του Ishango αποτελούνται από σειρές εγκοπών τοποθετημέ­νες σε τρεις διακριτές ομάδες. Η ασύμμετρη ομαδοποίηση αυτών των εγκοπών, όπως φαίνεται στην εικόνα, καθιστά απίθανο να ήταν τοποθετημένες εκεί απλώς για διακοσμητικούς λόγους. Η πρώτη σειρά περιλαμβάνει τέσσερις ομάδες εγκοπών με 9, 19, 21 και 11 σημάδια. Στη δεύτερη σειρά υπάρχουν επίσης τέσσερις ομάδες αλλά με 19, 17, 13 και 11 σημάνσεις. Η τρίτη σειρά έχει οκτώ ομάδες εγκοπών: 7, 5, 5, 10, 8, 4, 6, 3. Οι δύο τελευταίες ομάδες (δηλ. 6, 3) είναι πιο κοντά μεταξύ τους, όπως και οι 8, 4 και 5, 5, 10, γεγονός που υποδηλώνει μια σκόπιμη διάταξη σε διακριτές υποο­μάδες.

Κατά συνέπεια, γεννάται το εξής ερώτημα: Εάν αυτές οι ομάδες εγκοπών δεν είναι διακοσμητι­κές, τότε γιατί τοποθετήθηκαν εκεί; Μια πιθανή εξήγηση θα μπορούσε να είναι ότι πρόκειται για σημάδια καταμέτρησης, δηλαδή βρισκόμα­στε μπροστά στην αφετηρία του δρόμου που οδηγεί στην κατασκευή ενός συστήματος αρίθμησης.

Μήπως όμως το κόκαλο του Ishango απεικονίζει κάτι περισσότερο από μια απλή καταμέτρηση; Ορισμένοι ερευνητές απαντούν θετικά, θεωρώντας πως υπάρχουν κάποια υποκείμενα αριθμητικά μοτίβα σε καθεμιά από τις σειρές (a), (b) και (c). Για παράδειγμα: 

• Οι ενδείξεις στις σειρές (a) και (b) έχουν άθροισμα 60 (9+19+21+11 και 19+17+13+11 αντίστοιχα).
• Η σειρά (a) είναι αρκετά συμβατή με ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το 10, αφού οι εγκοπές είναι ομαδοποιημένες ως 20+1, 20–1, 10+1, 10–1.
• Η γραμμή (b) περιέχει τους πρώτους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 10 και του 20.
• Η σειρά (c), όπου εμφανίζονται οι υποομάδες (5, 5, 10), (8, 4) και (6, 3), ίσως δείχνει κάποια εκτίμηση της έννοιας του διπλασιασμού.

Ο ίδιος ο de Heinzelin έγραψε το 1962 στο περιοδικό Scientific American (τόμ. 206, τεύχ. 6, σσ. 105-118) πως το κόκαλο του Ishango μπορεί να αναπαριστά «ένα είδος αριθμητικού παιχνιδιού, που επινοήθηκε από έναν λαό ο οποίος είχε ένα αριθμητικό σύστημα βασισμένο στο 10, καθώς και γνώση του διπλασιασμού και των πρώτων αριθμών». Στο ίδιο άρθρο εξέτασε το ενδεχόμενο το σύστημα αρίθμησης των Ishango να ταξίδεψε μέχρι την Αίγυπτο και να επηρέασε την ανάπτυξη του αριθμητικού της συστήματος, του πρώτου δηλαδή δεκαδικού συστήματος στον κόσμο.

Αν και οι αφρικανικές ρίζες του αιγυπτιακού πολιτισμού μαρτυρούνται από αρχαιο­λογικές ανακαλύψεις και πρώιμες γραπτές μαρτυρίες (λ.χ. από τον Ηρόδοτο), θεω­ρούμε πως οι υποθέσεις του de Heinzelin σχετικά με το επίπεδο των μαθηματικών γνώσεων των Ishango, βασισμένες στην παρατήρηση μόνο ενός οστού, είναι μάλλον υπερβολικές (ειδικά αυτές που αναφέρονται στους πρώτους αριθμούς). Ωστόσο δεν μπορούμε να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο οι οστέινες σημάνσεις να αποτελούν ένα σύστημα διαδοχικών σημειώσεων – για παράδειγμα, μια καταγραφή των διαφόρων φάσεων της σελήνης. Το εάν αυτή είναι μια πειστική ερμηνεία, θα εξαρτηθεί εν μέρει από τη διαπίστωση της σημασίας των σεληνιακών παρατηρήσεων στον πολιτισμό των Ishango, και εν μέρει από το πόσο κοντά η σειρά των εγκοπών στο οστό ταιριάζει με τον αριθμό των ημερών που περιέχονται σε διαδοχικές φάσεις της σελήνης. Ένα τέτοιο σενάριο είναι, προς το παρόν τουλάχιστον, εικασία, ταιριάζει όμως με τα όσα γνωρίζουμε για τους σημερινούς λαούς που συνεχίζουν να ακολουθούν το πρότυπο της ζωής των Ishango (δηλαδή του κυνηγού-συλλέκτη). Παρ’ όλα αυτά, μια πρόχειρη εξέταση του μοτίβου των εγκοπών στο κόκαλο Ishango δεν δείχνει κάποια προφανή κα­νονικότητα που μπορεί να συσχετιστεί αδιαμφισβήτητα με σεληνιακά φαινόμενα. Έτσι, ο αρχικός σκοπός –αν όντως υπάρχει τέτοιος– του κόκαλου του Ishango πα­ραμένει αντικείμενο συζήτησης.

Jean de Heinzelin de Braucourt (1920-1998)

Αυτές οι εικασίες σχετικά με το κόκαλο του Ishango αναδεικνύουν τρεις σημαντικές πτυχές των πρώιμων Μαθηματικών. Πρώτον, η στενή σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Αστρονομίας έχει μακρά ιστορία και συνδέεται με την ανάγκη που ένιωθαν ακόμη και οι πρώτοι άνθρωποι να καταγράφουν τη ροή του χρόνου, τόσο από περιέρ­γεια όσο και από πρακτική ανάγκη. Δεύτερον, αυτό που άλλαξε δραματικά με την πάροδο των χρόνων είναι η φύση των γεγονότων και των σχέσεων με τις οποίες έπρεπε να λειτουργήσουν οι άνθρωποι και όχι η ικανότητά τους να συλλογίζονται. Έτσι, η δημιουργία ενός περίπλοκου συστήματος διαδοχικής σημειογραφίας με βάση ένα σεληνιακό ημερολόγιο ήταν μέσα στις δυνατότητες των προϊστορικών ανθρώ­πων, των οποίων η επιθυμία να παρακολουθούν τις εναλλαγές των εποχών μεταφρά­στηκε σε παρατηρήσεις της μεταβαλλόμενης όψης της σελήνης. Τέλος, ελλείψει τεκ­μηρίων, οι εικασίες σχετικά με τις μαθηματικές ασχολίες των πρώτων ανθρώπων πρέπει να εξετάζονται υπό το πρίσμα της αληθοφάνειάς τους, της ύπαρξης πειστικών εναλλακτικών εξηγήσεων και της ποιότητας των διαθέσιμων στοιχείων.

Ένα μόνο οστό μπορεί κάλλιστα να καταρρεύσει κάτω από το βαρύ φορτίο των εικα­σιών που συσσωρεύονται πάνω του.

Ο Ιωάννης Ρίζος είναι Διδάσκων του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας και Πρόεδρος της ΕΜΕ Εύβοιας.